1.文献综述
Duffing系统、Van der Pol系统、Mathieu系统以及其组合形式是典型的非线性振子系统，这些系统模型在分析机械振动、电路振荡等问题中得到了广泛应用。由于实际工程系统往往受到多种激励源的激励而产生丰富的非线性动力学响应行为[1-2]，因而求解典型非线性系统在多频激励下的周期解并对其振动特性研究具有重要的理论与工程意义[3]。本课题拟对Duffing系统、Duffing-Van der Pol系统的周期响应特性及其参数影响规律展开理论和数值研究。
随着近代工程技术的迅速发展，许多工业部门中需要设计和建造各种新的大型复杂工程结构，诸如航天飞机、海洋石油平台、大型电站与核动力工程等，为了既保证安全可靠，又经济合理，都提出了系统的非线性及随机载荷作用下的动态分析问题；机械工程中传统产品改型也需要寻找新的设计方法，如车辆要分析随机疲劳来确定其寿命、挖掘机要考虑动强度、精密机床需要从整体动态分析找到提高加工精度的途径等。采用常规的静力设计和经验设计的方法是无法实现的。
张伟和陈予恕提出了含有参数激励的非线性动力系统的响应、分岔与混沌问题的研究方法,并讨论了所存在的问题及其发展趋势[4]。陈予恕从非线性振动的角度出发综述了近年来国内外在非线性振动、分叉和混沌理论及其应用方面的主要成果和发展前景[5]。杨德森等通过多尺度法对Duffing系统的幅频响应特性进行研究发现多频外激励改变了单频外激励条件下系统的振动状态，使系统的主共振曲线产生了偏移，主共振幅频特性曲线改变的大小与加入多频激励的幅度和频率有关。利用数值仿真对硬弹簧特性Duffing系统具体算例进行计算表明加入多频外激励项改变了原有单频激励下系统的振动状态[6]。李韶华等应用多尺度法分析了 Van der Pol系统受参数激励和多频强迫激励联合作用下的主参数-组合共振 ，求得了稳态响应的分岔方程，应用奇异性理论进行分析，得到了系统稳态响应的转迁集和分岔图，并分析了原系统参数对 普适开折参数的影响。研究表明该系统的稳态响应为一叉型分岔，激励幅值和阻尼对普适开折参数的影 响很大 ，通过调整激励幅值和阻尼可以很方便地控制解的分岔特性[7]。赵志宏等通过多尺度法对Duffing-Van der Pol 系统的幅频响应特性进行研究，多频激励改变了单频激励条件下系统的振动状态。与 Duffing 系统相比，Duffing-Van der Pol 系统不但使系统主共振曲线发生了偏移，而且系统的振幅也发生了变化。Duffing-Van der Pol 系统主共振幅频特性曲线的偏移和振幅的改变与加入的多频激励的幅度和频率有关。利用数值仿真得出多频外激励改变了原有单频激励的振动状态， 并且随着多频激励的幅值和频率的改变系统的振动状态出现了一定规律的变化[8]。
王海波采用慢变参数谐波平衡法将假设解代入Duffing方程，导出微分方程式并对其进行稳定性分析，将分析非线性振动的平均法的慢变参数思想用于谐波平衡法中，使得谐波平衡法也可以分析受迫振动的稳定性[9]。杜文举基于非线性科学理论，从理论与数值两个方面对几类Van der Pol-Duffing系统的动力学特性进行了研究和探索。主要研究了该类系统的Hopf分岔行为及其分岔控制，改进了一些旧理论和方法，发现了一些新的规律[10]。王玉敏和丁凡应用MATLAB软件研究了Duffing-van der Pol非线性振动系统的数学模型。利用该图形用户界面,实现了Duffing-van der Pol振子数学模型的初始条件设定、任意参数组合和几何显示功率谱图、相平面轨迹图、Poincareacute;映射图、位移变化动态模拟图、相轨迹动态图和质量块振动模拟图[11]。王黎辉和冯宝成运用数值计算和计算机图形识别相结合的方法，研究了包含九个参数的Duffing-Van der Pol非线性振动系统。通过绘制该系统的时程曲线、相平面图、Poincareacute;映射图、功率谱图和吸引子图等来判断和研究混沌现象[12]。符五久将保守Duffing系统作为未扰系统,并对它分四种情形进行了严格求解。用Melnikov函数方法研究了Duffing-Van der Pol系统的次谐分岔，获得了Duffing-Van der Pol系统的Hopf分岔条件。根据这些条件，在参数空间中确定了Hopf分岔曲线[13]。Yang等[14]采用解析和数值的方法研究了单自由度弱非线性Duffing系统在三个外激励作用下的组合共振特性，发现系统响应将包含多个共振峰，这表明实际工程系统的疲劳寿命比理想激励下的寿命预测结果要短。Lou等[15]研究了软Duffing系统在多频激励下的混沌动力学行为，发现系统可以由横向异宿环面形式进入混沌运动，且随着激励频率数目的增加，混沌区间增多。
通过本毕业设计课题，熟悉典型的非线性振子系统及其特点，并且可以采用近似解析方法和数值方法求解系统的周期解并对其参数影响规律进行分析。
参考文献
[1] Yang T Z, Fang B, Chen Y, Zhen Y X. Approximate solutions of axially moving viscoelastic beams subject to multi-frequency excitations[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009, 44: 230-238.
[2] Fu Y M, Hong J W, Wang X Q. Analysis of nonlinear vibration for embedded carbon nanotubes[J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 296: 746-756.
[3] Szemplinska-Stupnicka W, Rudowski J. The coexistence of periodic, almost-periodic and chaotic attractors in the Van Der Pol-duffing oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 1997, 199 (2): 165-175.
