文献综述
转子系统作为旋转机械的核心部件在工业部门中广泛应用，而滚动轴承由于其低阻尼、大过载和小体积等特点是航空发动机、铁路货车、舰船发动机等旋转机械的主要支承件。随着国民经济的增长以及国防事业的发展，旋转机械正在向高速、重载和自动化方向发展，对轴承-转子系统的稳定性、安全性提出了更高的要求。突跳振动作为航空发动机转子系统的基本故障特征之一，不但对于航空发动机的运行稳定性与安全性可能带来极大的影响，而且其冲击作用也是基本机械件裂纹及疲劳破坏的重要诱导因素，相关资料显示我国现役某型航空发动机在高压转子前支承轴承处就曾多次出现超过故障判据的突跳现象，导致该发动机提前返厂修理。滚动轴承的时变刚度特性是转子-轴承系统的不可避免的参激源，已经有大量研究指出滚动轴承的变柔度（varying compliance，VC）振动具有典型的双稳态和滞后突跳行为[1-3]，可是迄今为止对轴承VC振动的滞后突跳产生机理还有待深入研究。我们从空军某发动机维修厂调研发现，我国现役某主力战机采用的从俄罗斯引进的某第三代航空发动机经常受到异常突跳振动的困扰（见图1），如图1（b）所示，在转速一定的情况下，机载测点会经常出现图中所示的显著的突跳振动行为。因此，从非线性动力学角度，展开高速航空球轴承的突跳振动特性及其控制研究具有重要的国防军事意义，该研究对于提高军机的运行稳定性和安全性具有重要的理论和实际军用价值。
图2 我国某现役主力战机发动机2015年地面台架试车中经常出现的异常振动实测图：（a）从下往上分别为发动机水平前测点、垂直前测点、水平中介机匣测点、机载、垂直中介机匣测点、水平后测点、垂直后测点、水平上测点、垂直上测点的速度幅值曲线随油门(转速)曲线的变化关系；（b）从小往上表示机载速度幅值曲线随油门(转速)曲线的变化关系。其中机载测点就是整个发动机实际飞行过程的外测点。
接触非线性是当代科学技术与工程应用中经常遇到的重要非线性因素[4,5]，与材料非线性、几何非线性构成工程应用研究中的三大非线性问题。接触共振是接触系统在线性等效共振频率区间内的共振特性[6]，大量研究指出赫兹接触共振响应具有突跳振动现象。Nayak[6]较早的分析了单自由度赫兹点接触系统在简谐激励下的响应特征，发现在接触主共振区间幅频响应曲线向左偏，即系统具有软的动力学滞后和双稳态跳跃共振行为。Hess[7]分析了系统参数对赫兹接触主共振动力学软滞后特性的影响，发现增大阻尼可以使软滞后跳跃行为消失。Rigaud和Perret-Liaudet[8]实验验证了赫兹接触主共振的软滞后动力学响应特性，随后他们理论和实验[9]研究了该系统的亚谐共振特性。
基于上述赫兹接触共振的研究，Zhang等[10,11]为了对球轴承-转子系统的突跳故障溯源，考虑球轴承的径向游隙、赫兹接触力和VC参激特性，对经典两自由度球轴承-刚性平衡Jeffcott转子系统的主参共振及其分岔行为展开研究，发现在接触主共振区间系统同样具有软的滞后突跳行为，指出赫兹接触和间隙非线性的耦合作用可给系统来软硬共存的双稳态接触共振频响特性。就经典两自由度球轴承-刚性Jeffcott转子系统[12,13,14]，系统不存在线性刚度项，且其弹性位移-变形关系仅由赫兹接触刚度决定，所以该系统的共振区间就是接触共振区间。 有许多经典的数值方法和解析方法可对常微分动力系统的稳态响应进行求解。一般把所求问题看成常微分方程的初值问题，采用数值积分方法来求解系统的渐近稳态响应。Runge-Kutta（R-K）系列方法[15]是使用最广泛的初值问题的数值积分方法之一，这是一种经典的单步积分方法，虽然高阶的R-K方法在每一个积分步需要较多的预测函数，但这系列方法不同于多步法，可在数值积分求解过程中根据需要频繁改变步长，所以对刚性方程的求解也是十分有效的。
图1-2 赫兹接触主共振的软滞后动力学行为实验研究[10]
Fig.1-2 Experimental studies of the soft dynamical hysteresis in Hertzian contact resonance[10]
文献[3]的研究其实已经指出不平衡激励和VC参激联合激励下球轴承-刚性转子系统的接触共振伴随着丰富的周期运动突跳现象，但是该工作并未对系统的接触共振突跳特性及其分岔机理展开深入研究。一方面，不平衡强迫激励是工程转子系统不可避免的激励形式，另外由于参激和强迫激励同时作用下系统的失稳方式与响应特征可能会有本质的不同[16,17]，因此本文将进一步采用R-K方法对不平衡激励和VC参激联合作用下球轴承-转子系统的接触共振响应特性展开研究。
