文 献 综 述
幂次非线性方程是分析接触振动非线性系统动力学行为的通用模型，而且在许多情况下可以使用不同形式的幂次非线性方程对工程非线性问题进行定性分析。幂次非线性恢复力（不含线性刚度）在超弹性材料中广泛存在，此类特种材料在兵器工业、航空航天系统大量应用，其简谐激励下软、硬滞后共振响应特性影响系统运行的稳定性和安全性，而且滞后突跳带来的冲击作用可能降低系统的疲劳寿命，若不能弄清其动力学行为特性，可能使结构整体性能下降，甚至导致故障，从而不能正常运转。如我国现役某型号军机多次提前返厂修理，判断故障原因是其高压转子前支承球轴承处出现异常滞后突跳，因不明白其内在机理，导致返修出厂率很低，造成了重大的经济损失。球轴承包含赫兹接触和轴承间隙等多种非线性因素，使得对其系统的动力学内在机理分析变得极其困难，故急需利用非线性动力学理论知识对其动力学特性进行分析，继而进行有效的控制。
若描述一个系统的微分方程是非线性的，则此系统可称为非线性系统。幂次非线性系统则表明该系统中恢复力项是带有幂次形式的非线性项。含有幂次非线性方程的系统，彼此间的动力学行为差异极大，而每个系统的分析研究方法或有不同，故有必要对任意形式的幂次非线性系统研究，给出一套通用的解析方法来求解这类问题。
对于幂次非线性系统的研究，国内外学者已经做了不少工作。Burton[1]在1984年提出了一种摄动法来分析单自由度非线性现象，定义了一个新的参数，使近似解在幂级数中收敛得更快，来研究强非线性保守振子的自由振动和弱谐波激励下的强非线性振子的稳态响应，证明了该方法对于包含大的参数的强非线性系统也能较好地分析其动力学行为。1991年，Kim和Noah[2]研究了具有分段光滑特性的非线性振子系统的周期解及其稳定性，设计了一种改进的谐波平衡/傅里叶变换方法进行分析,该方法避免了以往确定周期解时采用的数值微分法，提高了方法的可靠性和效率，将该方法应用于具有有限刚度止点的受迫振子,发现出现翻转和折叠分岔，以此得到了混沌响应发生的参数范围的识别。
Nayfeh[3]等人讨论了二次和三次非线性连续系统响应的确定方法，提出了一种摄动技术，应用了多尺度法或者是拉格朗日系统的平均法，而不是偏微分方程和边界条件，通过一个简单的例子说明了基于初始离散化系统的摄动和计算方法可能会导致错误的结果，而直接作用于非线性偏微分方程和边界条件的摄动方法避免了分析离散化系统时的可能引起的错误。Kovacic和Brennan[4]在2008年提出了一种求解无线性项且具有三次非线性的阻尼和无阻尼谐波激励振子稳态响应的解析方法，将控制方程转化为适合应用经典级数展开技巧的形式，再利用Linstedt-Poincareacute;法和多尺度法确定了激励频率下的幅频响应和近似解，当存在强非线性时，计算结果也与数值结果一致。Kovacic[5]研究了具有非负实数幂次几何非线性恢复力且不包含线性项的谐波激励振子，通过引入一个零系数的线性项来转换运动方程，应用Lindstedt-poincare法和多尺度法得到了弱非线性系统的响应，再通过引入一个新的拓展参数并采用摄动法，求得了强非线性系统的响应，在强非线性和弱非线性情况下均得到了在任意非负实数幂次的恢复力下的频率-振幅方程及稳态响应的解，并用数值结果验证了它们的可靠性和精度。Rakaric[6]等人研究了具有纯非线性非负实幂次恢复力的谐波激励振子，假定其运动的解为雅可比椭圆函数的形式，其频率和参数可由能量守恒定律计算的精确运动周期得到，考虑到椭圆函数参数的时间变化，提出了一种新的椭圆平均法，并以具有范德波尔阻尼和具有不同恢复力的整数幂和非整数幂的线性粘滞阻尼的振子为例，说明了所导出的方程的应用，对振子动力学产生了新的见解。Huang[7]等人研究了以实幂次为恢复力和阻尼力项的强迫隔振系统在基础激励下的主共振、动力稳定性和传递特性，基于多尺度方法，首次提出了等效阻尼来解释反馈控制对实功率隔振系统的频率岛现象等动态特性的影响，并分析了软、硬恢复力系统的滞后跳跃特征。为了避免跳跃现象，他们推导了一个解析准则，并通过数值模拟得到了验证，此外，为了抑制振幅峰值和控制谐振稳定性，得到了适当的反馈增益和时滞。最后，研究了系统参数对能量传递率的影响，表明了反馈参数是提高实功率隔振系统隔振效果的重要因素。
球轴承是一种典型的滚动轴承。Sankaravelu[8]等人早就指出，球轴承的VC振动存在动态滞后和突跳。一般来说，当激励频率接近球轴承系统的赫兹接触共振频率时，就会出现较高幅度的VC振动。Elsayed[9]等人通过有限元建模分析，详细说明了球轴承系统线性振动模态的阶数。Zhang[10]等人通过研究平衡刚性转子球轴承模型，发现主接触共振对于周期1的VC响应会表现出软弹簧行为，这些非线性振动模态也通过实验得到了证实[11]。此外，对于球轴承-转子系统，在VC共振范围内会出现倍周期和混沌运动[10,12,13]。动态滞后是一种危险的分岔[14]，会给系统带来内部影响，研究发现，某些型号的军用飞机由于发动机轴承出现双稳态突跳的故障而多次进行维修。另外，滚动接触轴承的疲劳寿命是接触处振动应力大小的函数[15]，因此，必须注意防止轴承-转子系统的动态共振迟滞和跳跃。研究球轴承系统中VC接触共振的机理及其滞后特性，并考虑对系统主要结构参数如轴承间隙和阻尼因子的控制。
轴承间隙作为滚动轴承的一个基本参数，不但对轴承寿命、安装和热膨胀能力具有重大意义[16]，而且对轴承刚度有显著的影响[15,17,18]。Oswald[19]等人研究发现，轴承寿命随着正间隙的增加逐渐下降，也会随着负间隙的增加而迅速下降，且在较小的负工作间隙下，轴承寿命可以最大化。Yakout[20]等人提出了一种统计分析方法，来研究滚动轴承的内部径向间隙与动态特性之间的相关性。在轴承工业领域，一般认为通过将球轴承调整到零间隙可以降低不良的振动和噪声行为[21]，无间隙操作通常适用于精密或高速机械，例如机床和涡轮机[15]。Jin[22]等人研究了转子-轴承系统变柔度接触共振的非线性特性，并考虑了赫兹接触变形和内部径向间隙，创建了一个由滚动元件轴承支撑的刚性转子的实验装置，在不同径向载荷作用下，观察了旋转转速上下运动过程中VC振动的幅频响应曲线，并与数值模拟结果进行了比较，表明在球轴承-转子系统中可以产生双稳态振动和跳变行为，垂直方向的软弹簧特性降低了临界转速，使突跳行为更容易发生，而水平方向的软弹簧和硬弹簧特性共存增加了VC接触共振的间隔时间。当径向载荷增加时，失稳区域和跳跃行为范围显著增大。该研究结果将有助于阐明复杂涡轮机械的动态特性，从而为研制具有更高性能和工作稳定性的球轴承-转子系统奠定基础。为此，如我们之前的文献[10]，我们将采用HB-AFT方法来追踪VC周期解分支，并利用Floquet理论分析其稳定性特征。
参考文献
[1] Burton T D. A perturbation method for certain non-linear oscillators[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1984, 19(5): 397-407.
[2] Kim Y B, Noah S T. Stability and Bifurcation Analysis of Oscillators With Piecewise-Linear Characteristics: A General Approach[J]. Journal of Applied Mechanics, 1991, 58(2): 545-553.
